建模与优化 · Computer Lab

Getting Started with Gurobi

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Gurobi 干货 · 基础架构

Part A · 从 Python 到 Gurobi Model

我们使用 Python package gurobipy 来调用 Gurobi Optimizer。变量、表达式、约束、目标函数以及求解接口，都通过这个 package 提供。

gurobipy 是什么？ 
import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB

gurobipy 是 Gurobi 的 Python package。使用 gp 作为缩写后，可以通过 gp.Model()、gp.quicksum() 等函数建模。

Model 是什么？ 
m = gp.Model("mip1")

gp.Model() 会创建一个 Gurobi model object。这里模型名称是 "mip1"，后续通过变量 m 来操作这个模型。

Model 的两类常用成员

Methods / Functions：执行操作，例如 m.addVar()、m.addConstr()、m.optimize()。

Attributes：读取模型信息或结果，例如 m.Status、m.ObjVal、m.Runtime。

Part B · 一个 Gurobi 模型的 6 个核心组成

Model创建一个优化模型对象。
gp.Model()
Variables我们可以控制的决策。
addVar / addVars
Objective希望最大化或最小化什么。
setObjective
Constraints决策必须遵守的规则。
addConstr / addConstrs
Optimize真正调用求解器。
model.optimize()
Solution读取状态、目标值和变量值。
Status / ObjVal / X

Part C · 常用建模函数及其参数

addVar()：添加一个变量 
x = m.addVar(
    lb=0,
    ub=1,
    obj=0,
    vtype=GRB.BINARY,
    name="x"
)

lb / ub：下界 / 上界；obj：变量在线性目标中的系数；vtype：变量类型；name：变量名称。

addVars()：批量添加变量 
x = m.addVars(
    I, G,
    lb=0,
    vtype=GRB.BINARY,
    name="x"
)

前面的 I, G 是索引集合；其他常用参数与 addVar() 类似。得到的 x[i,g] 可以按索引访问。

setObjective()：设置目标函数 
m.setObjective(
    40*x1 + 30*x2,
    GRB.MAXIMIZE
)

第一个参数是目标 expression；第二个参数是目标方向，例如 GRB.MAXIMIZE 或 GRB.MINIMIZE。

addConstr()：添加一条约束 
m.addConstr(
    2*x1 + x2 <= 100,
    name="resource1"
)

第一个参数是约束表达式；name 是可选的约束名称，后续查看模型和 dual value 时很有用。

addConstrs()：批量添加约束 
m.addConstrs(
    (gp.quicksum(x[i,g] for g in G) == 1
     for i in I),
    name="assign"
)

第一个参数通常是一个 generator expression，用来表示一整族约束；name 为这组约束设置统一前缀。

optimize()：调用求解器 
m.optimize()

通常不需要传参数。模型、变量、目标和约束都添加完以后，调用它开始求解。

GRB 是什么？

GRB 是 gurobipy 中集中存放常用常量的对象。我们经常用它指定变量类型、目标方向和判断求解状态。

变量类型 GRB.CONTINUOUS
GRB.BINARY
GRB.INTEGER
目标方向 GRB.MAXIMIZE
GRB.MINIMIZE
常见状态 GRB.OPTIMAL
GRB.INFEASIBLE
GRB.UNBOUNDED
GRB.TIME_LIMIT

Part D · Expression：目标函数和约束的“中间语言”

Gurobi 不是只接受单个变量。像 2*x + 3*y、x + y + z 这样的线性组合会形成 expression，然后再被放进目标函数或约束中。

先构造 expression，再用于目标 
expr = 40*x1 + 30*x2
m.setObjective(expr, GRB.MAXIMIZE)
expression 也直接出现在约束中 
m.addConstr(2*x1 + x2 <= 100)

左侧的 2*x1 + x2 就是一个 linear expression。

Part E · 如何自助查 API

不会用某个 API？先用 help()

help(gp.Model)
help(m.addVar)
help(m.addVars)
help(m.setObjective)
help(m.addConstr)
help(m.addConstrs)
help(gp.quicksum)
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如何读取基本求解结果

model.Status求解状态：最优？不可行？无界？
model.ObjVal当前已求得解的目标函数值。
x.X变量 x 在当前解中的取值。

常见状态

Status 含义 下一步？
GRB.OPTIMAL 已按容差证明当前模型的最优解 检查模型含义并解释决策
GRB.INFEASIBLE 不存在同时满足全部约束的解 检查约束冲突、数据和单位
GRB.UNBOUNDED 目标可以无限改善 检查是否漏了容量/上界等约束
GRB.TIME_LIMIT 达到时间上限后停止 检查问题是否太难，查看可行解、bound 和 gap
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练习 1 · A Simple Example

课堂任务1
max   x + y + 2z
s.t.   x + 2y + 3z ≤ 4
x + y ≥ 1
x,y,z ∈ {0,1}
提示 · 按照 Gurobi 建模的 6 个步骤完成程序
  1. Create a model — 创建模型
  2. Add variables to the model — 添加决策变量
  3. Add objective to the model — 添加目标函数
  4. Add constraints to the model — 添加约束
  5. Let the model solve itself — 调用求解器
  6. Get the solution and objective values — 读取解与目标值
查看基础代码框架

下面只给出程序骨架。请根据上面的数学模型补全变量、目标函数和约束。

import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB

# 1. Create a model ( gp.Model )


# 2. Add variables to the model ( m.addVar(...) )



# 3. Add objective to the model ( m.setObjective() )



# 4. Add constraints to the model ( m.addConstrs() )



# 5. Solve the model (m.optimize()) 


# 6. Get the solution and objective values (m.Status,x.X,m.ObjVal)
🔒 完成课堂练习 1 后解锁：“规模化建模”与课堂练习 2 · Speed Dating。
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Gurobi 干货 · 规模化建模

当模型变大以后，如何批量创建变量、添加约束、写表达式？

addVars()：批量创建变量

Mathematical model
xig ∈ {0,1},   i∈I, g∈G
I = range(4)
G = range(2)

x = m.addVars(I, G,
              vtype=GRB.BINARY,
              name="x")

x[i,g] 对应数学模型中的 xig。Gurobi 返回的是可按索引访问的 tupledict。

addConstrs() + quicksum()

Mathematical constraint
Σg∈G xig = 1,   ∀i∈I
m.addConstrs(
    (gp.quicksum(x[i,g] for g in G) == 1
     for i in I),
    name="assign"
)

一行代码表达一整族约束，不需要复制粘贴很多次 addConstr()。

进一步查看模型信息

model.getVars()查看所有变量及其属性。
model.getConstrs()查看所有线性约束。
model.write("model.lp")把模型导出成易读的 LP 文件，特别适合查错。
model.NumVars模型变量总数。
model.NumConstrs模型线性约束总数。
model.Runtime最近一次 optimize() 的求解时间。
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课堂练习 2 · Speed Dating

分组 + 见面顺序

回想 HW1 中的 Speed Dating 分组问题。现在不仅要决定谁和谁在同一组，还要决定组内每一轮的见面顺序。共有 4 位男生、4 位女生，分为 2 组；每组 2 位男生、2 位女生，并进行 2 轮 Speed Dating。

决策变量

xig：男生 i 是否进入组 g

yjg：女生 j 是否进入组 g

wijg：男生 i 与女生 j 是否同时位于组 g

zijgr：男生 i 与女生 j 是否在组 g 的第 r 轮见面

课堂数据：匹配得分 pij

F1 F2 F3 F4
M1 9 2 7 4
M2 6 8 3 5
M3 4 7 9 2
M4 5 3 6 8

完整数学模型

max   Σg,i,j pij wijg
Σg xig = 1   ∀i
Σg yjg = 1   ∀j
Σi xig = 2,   Σj yjg = 2   ∀g
wijg ≤ xig,   wijg ≤ yjg
Σr zijgr = wijg   ∀i,j,g
Σj zijgr = xig   ∀i,g,r
Σi zijgr = yjg   ∀j,g,r
x,y,w,z ∈ {0,1}

给出的代码：分组部分已经写好

下面的代码只实现变量、分组约束和同组 linking。由你补全“见面顺序”约束和目标函数。

import gurobipy as gp
from gurobipy import GRB

M = range(4)
F = range(4)
G = range(2)
R = range(2)

p = [
    [9, 2, 7, 4],
    [6, 8, 3, 5],
    [4, 7, 9, 2],
    [5, 3, 6, 8]
]

# 1. Create a model ( gp.Model )


# 2. Add variables to the model ( m.addVars(...) )



# 3. Add objective to the model ( m.setObjective() )



# 4. Add constraints to the model ( m.addConstrs() )



# 5. Solve the model (m.optimize()) 


# 6. Get the solution and objective values (输出 ObjVal, Runtime, NumVars, NumConstrs)

提交一个最优的分组与轮次安排

每轮每组有两场同时进行的见面。组号、轮次和桌位存在对称性，只要满足约束且达到最优目标值即可。

🔒 完成课堂练习 2 后解锁：拓展知识（Dual Value 与 Solver Log）。
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Gurobi 干货 · 拓展知识

最优解并不是 solver 能告诉你的全部信息。这里集中看两类非常实用的内容：LP 的 dual value，以及 LP/MIP 的 Solver Log。

Dual Value · 查询影子价格

对于 LP，如果把某条线性约束保存为对象，例如 c1、c2，求解后可以分别查询：

c1.Pi
c2.Pi

c1.Pi 表示约束 c1 的 dual value / shadow price；c2.Pi 同理，表示约束 c2 的 shadow price。

直观上，在当前最优 basis 有效的局部范围内，shadow price 描述对应约束 RHS 放松 1 单位时最优目标值的边际变化。

max   40x₁ + 30x₂
2x₁ + x₂ ≤ 100   (Resource 1)
x₁ + 2x₂ ≤ 80   (Resource 2)
x₁,x₂ ≥ 0
你的任务：自己把两条资源约束保存成对象，例如 c1、c2。求解后用 c1.Pi 和 c2.Pi 查询两个资源约束的 shadow price。

Solver Log：从日志看求解器在做什么

不需要看懂每一行。先认识模型大小、LP relaxation 和 MIP 搜索中的几个关键信号。

模型大小：Rows / Columns / Nonzeros

Optimize a model with 706 rows, 700 columns and 2400 nonzeros (Min)
Variable types: 0 continuous, 700 integer (100 binary)
Rows线性约束数量。
Columns决策变量数量。
Nonzeros约束矩阵中非零系数数量。
Variable types连续、整数、二元变量的组成。

LP 一般用什么方法？

Simplex课堂学习的 primal simplex / dual simplex 是 LP 的经典核心算法。Simplex 日志中常见 Iteration、Objective、Primal Inf. 和 Dual Inf.。
Barrier / Concurrent实际工业求解器并不保证每个 LP 都只使用 simplex。Gurobi 可以根据问题和参数选择 simplex、barrier，或采用 concurrent 策略让多个方法竞争。
LP Model
Rows / Columns
→
Presolve
删掉可消除的变量/约束
→
Simplex / Barrier
求连续最优解
→
Optimal
满足可行性与最优性容差
Iteration    Objective       Primal Inf.    Dual Inf.      Time
       0     1.200000e+03    8.000000e+01   0.000000e+00     0s
      17     2.164000e+03    0.000000e+00   0.000000e+00     0s

Optimal objective 2.164000000e+03

IP / MIP：Branch-and-Bound 是基本框架

整数规划不能只求一次 LP。基本思想是 Branch-and-Bound；现代 MIP solver 还会加入 cutting planes、heuristics 和 presolve，因此常被称为 branch-and-cut。

MIP Model
包含整数变量
→
Root relaxation
先去掉整数性求 LP relaxation
→
Branch-and-Cut
分枝、界、cuts、heuristics
→
Gap closes
Incumbent 与 BestBd 接近
Root relaxation: objective 102.4

 Nodes | Incumbent   BestBd     Gap | Time
     0 | 140.0       102.4     26.9%|  0s
   500 | 110.0       106.5      3.2%|  2s
  1240 | 110.0       110.0      0.0%|  4s

Optimal solution found
Root relaxation在根节点把整数变量放松为连续变量得到的 LP；它给出重要的 bound。
NodesBranch-and-Bound / Branch-and-Cut 树中已经探索的节点数。
Incumbent当前找到的最好整数可行解。
BestBd / Gap当前最优界，以及 incumbent 与 bound 之间还差多远。
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学习资源 · 如何借助 AI 快速学习 Gurobi

Gurobi Documentation
参数、属性、Python API、日志与算法的完整官方文档 Gurobi Help Center
常见安装、license、infeasibility、performance 问题 Gurobi Modeling Examples
Notebook 形式的真实建模案例

课堂进度

练习 1 与练习 2 决定后续内容是否解锁；Dual Challenge 作为拓展练习计入完成进度。

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